Web sách hay

Các Cơ Sở Của Số Học

Theo Frege, Tiên đề V hợp thức hóa sự viện dẫn đến những ngoại diên của khái niệm bằng cách nêu rõ tiêu chuẩn về đồng nhất cho chúng (hai ngoại diên là đồng nhất nếu các khái niệm tương ứng của chúng áp dụng cho cùng các đối tượng). Nếu mỗi khái niệm được định nghĩa cho mỗi đối tượng, Tiên đề V đảm bảo mỗi khái niệm có một ngoại diên, và nếu bản thân các ngoại diên này là những đối tượng, thì nó đảm bảo cho chúng ta rằng ngoại diên của khái niệm “( ) là ngoại diên của một khái niệm mà nó không rơi vào” là một đối tượng; nhưng chính điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Phản ứng của Frege với nghịch lí này là loại bỏ việc áp dụng của các khái niệm với những ngoại diên của chúng, kết quả tạo ra sự giới hạn tiên đề (Vc)

(V’c) Cái gì rơi vào khái niệm F, ngoại trừ ngoại diên của chính nó, rơi vào khái niệm G, và ngược lại, nếu và chỉ nếu các khái niệm F và G có cùng ngoại diên.

Tuy nhiên, thật không may, tiên đề này cũng bị thấy tạo ra mâu thuẫn, trong những miền có nhiều hơn một đối tượng; và mặc dù chúng ta không rõ khi nào Frege chấp nhận rằng hệ thống của ông đã sụp đổ một cách không tránh khỏi, tập III theo dự kiến của Grundgesetze không bao giờ được hoàn thành, và đến cuối đời Frege chắc chắn thừa nhận dự án duy logic của ông đã thất bại.

Trong 15 năm cuối cùng ở Jena, Frege xuất bản ít, vì lí do đau buồn cá nhân cũng như thất vọng về mặt học thuật. Các con ruột của ông với vợ, Margaret Lieseburg (sinh năm 1856), đều mất sớm, mặc dù họ nhận một đứa con trai nuôi, Alfred, khoảng năm 1900, vợ ông cũng qua đời năm 1905, bỏ lại ông nuôi đứa con này một m.ình. Sức khỏe kém cũng ảnh hưởng đến ông trong suốt phần đời còn lại. Tuy nhiên, ông có ảnh hưởng quan trọng đến hai người khác, lúc khởi đầu sự nghiệp triết học của họ, những người đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển và truyền bá những ý tưởng của ông. Năm 1911, Wittgenstein, lúc đó là sinh viên ngành khí động học, đến thăm ông, Wittgenstein đã đọc về những quan điểm của ông trong Phụ lục A của Các nguyên lí của toán học của Russell; và chính Frege là người đã giới thiệu Wittgenstein đến Cambridge để học với Russell. Từ năm 1910 đến 1914, nhiều bài giảng của Frege có sự tham dự của Carnap, lúc đó đang học ở Jena; và Carnap, giống Wittgenstein, không dấu giếm về sự ảnh hưởng của tác phẩm Frege với m.ình.

Frege về hưu ở Đại học Jena năm 1918, và chuyển đến Bad Kleinen, gần quê Wismar của ông. Trong những năm cuối đời, ông xuất bản một loạt bài báo tên gọi Logical Investigations, thành quả cuối cùng của những nỗ lực suốt đời ông để viết một quyển sách về logic – giải thích những quan điểm của ông, nhất là về chân lí, tư tưởng, Sinn và Bedeutung, bản tính của logic, phép phủ định, và tính tổng quát. Bài đầu trong các bài này, “Der Gadanke”, lập luận bênh vực quan điểm tính bất khả định nghĩa của chân lí và tính khách quan của tư tưởng, có ảnh hưởng chỉ xếp sau bài “Về Sinn và Bedeutung” đối với triết học thời sau. Nhưng Frege không còn sống để thấy ảnh hưởng của ông, hay vui hưởng sự công nhận, cũng như danh tiếng rộng rãi mà các tác phẩm này xứng đáng và cuối cùng được tiếp nhận. Ông qua đời ở tuổi 77 ngày 26 tháng 07 năm 1925.

Trong một ghi chú kèm theo di chúc, để lại các thư từ và bài viết chưa xuất bản của ông cho con trai ông, Alfred, Frege đã viết:

Alfred yêu quí,

Đừng xem thường những gì cha đã viết. Cho dù nếu tất cả không phải là vàng, thì cũng có vàng trong đó. Cha tin có những thứ ở đây một ngày nào đó sẽ được công nhận ở mức cao hơn nhiều so với bây giờ. Hãy giữ gìn để không làm mất thứ gì con nhé.

Cha yêu quí của con.

Đây là một phần lớn của chính cha, nay cha để lại nó cho con.

Vào năm 1935, Alfred Frege đã trao phần di cảo – Nachlass của Frege cho Heinrich Scholz thuộc Đại học Munchen, người trước đó đã tìm kiếm chúng, Scholz và những cộng sự đã bắt tay vào biên tập chúng để xuất bản. Trong thế chiến II, phần bản gốc được giữ ở University Library cho an toàn, tuy nhiên chúng đã bị bom của phe đồng minh phá hủy vào ngày 25 tháng 03 năm 1945. Mặc dù may mắn là các bản sao đã được thực hiện đối với những gì được cho là quan trọng, Scholz đã sao chép chúng một lần nữa sau thế chiến II để chuẩn bị xuất bản. Nhưng bệnh tật của Scholz khiến cho ông không thể hoàn thành dự án này trước khi qua đời vào năm 1956; mãi đến năm 1969 thì Nachgelassene Schriften mới được xuất bản, được biên tập bởi một nhóm học giả do Hans Hemes lập nên, người kế nhiệm Schloz ở Munchen, và sau đó là một tập thư từ được công bố vào năm 1976. Hơn 50 năm sau khi Frege qua đời, những gì là vàng còn lại mà Frege đã nhắc đến mới xuất hiện, và sự tiên tri của Frege rằng một ngày nào đó nó sẽ được đánh giá cao hơn nhiều so với lúc ông viết chúng đã trở thành hiện thực.

Giá sản phẩm trên đã bao gồm thuế theo luật hiện hành. Bên cạnh đó, tuỳ vào loại sản phẩm, hình thức và địa chỉ giao hàng mà có thể phát sinh thêm chi phí khác như phí vận chuyển, phụ phí hàng cồng kềnh, thuế nhập khẩu (đối với đơn hàng giao từ nước ngoài có giá trị trên 1 triệu đồng)…..